Электронный учебник по геометрии                             

Глава 5. Преобразования плоскости

§ 62. Классификация преобразований подобия. Группа подобия и ее подгруппы

   Теорема 84. Любое преобразование подобия, отличное от движения, имеет одну и только одну неподвижную току.

Доказательство.

Пусть (3) § 61 – аналитическое выражение данного преобразования подобия. Точка  является произвольной точкой преобразования , если выполняется

 .                                                    (1)

Определитель , состоящий из коэффициентов математической системы есть:

, если

, если

т. е. при имеет , т. е. система (1) имеет единственное решение. Т. е.  имеет единственную инвариантную точку. ч. т. д.

   Следствие. Любое преобразование подобия, имеющее более, чем одну инвариантную точку или не имеющее инвариантных точек, есть движение.

Используя теорему 84 и следствие можно провести классификацию подобий плоскости:

1)   Классификация подобия первого рода плоскости.

a)    Если  имеет больше чем одну инвариантных точек или не имеет инвариантных точек, то в силу теоремы 84 и § 58  - параллельный перенос.

b)   Если  имеет одну инвариантную точку , то в зависимости от движения  получим

o        - тождественное преобразование, следовательно  - гомотетия с положительным коэффициентом

o        - центр симметрии, следовательно  - гомотетия с отрицательным коэффициентом .

o        - поворот на угол , следовательно  - центрально – подобное вращение.

 

Для просмотра анимации нажмите на рисунок

2)   Пусть  - подобие второго рода.

a)   Если  имеет больше одной или ни одной инвариантной точки, то по аналогии с (1) имеем, то  - осевая или скользящая симметрия.

b)  Если  - имеет одну инвариантную точку, то в зависимости от  имеем

o        - тождественное преобразование, следовательно  - центрально - подобная симметрия .

 

Для просмотра анимации нажмите на рисунок

 Итак, Существует 6 типов преобразования подобия

Подобия первого рода:

а)       Гомотетия.

б)       Параллельный перенос.

в)       Центрально-подобное вращение (композиция вращения и гомотетии).

Подобия второго рода:

а)   Осевая симметрия.

б)   Скользящая симметрия.

в) Центрально-подобная симметрия (композиция осевой симметрии и гомотетии).

   Теорема 85. Множество всех подобий  плоскости образуют группу подобий плоскости.

 

Группа подобий – основная группа школьной геометрии. Т. е. в школе на плоскости рассматривается геометрия группы подобий.

   Теорема 86. Для того, чтобы  был подобен  необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство , , .

   Теорема 87. Два эллипса эксцентриситеты, которых равны, подобны.

   Теорема 88. Две гиперболы, эксцентриситеты которой равны, подобны.

   Теорема 89. Любые две параболы подобны.